Uomo di 20 anni

Vediamo come risolvere le disuguaglianze.

17)

Ricordiamo che le proprietà dei logaritmi possono semplificare l'espressione. La somma di due logaritmi è equivalente al logaritmo del prodotto, quindi possiamo scrivere:

\log_{0,1}((x - 3)(x - 1)) > \log_{0,1}(x^2 - 7x + 10)

Per eliminare i logaritmi, dato che la base del logaritmo è (quindi minore di 1), il segno della disuguaglianza si inverte. Otteniamo quindi:

(x - 3)(x - 1) < x^2 - 7x + 10

Ora espandiamo il prodotto a sinistra:

x^2 - 4x + 3 < x^2 - 7x + 10

Semplificando, possiamo sottrarre da entrambi i lati:

-4x + 3 < -7x + 10

Portiamo i termini con a un lato e i termini numerici all'altro:

3x < 7 \quad \Rightarrow \quad x < \frac{7}{3}

Infine, dobbiamo anche considerare le condizioni di esistenza del logaritmo: .

Le prime due disuguaglianze danno . La terza, risolvendo il polinomio, non dà soluzioni reali, quindi è sempre positiva. Pertanto la condizione finale è:

x > 3 \quad \text{e} \quad x < \frac{7}{3}

Ma poiché non soddisfa , non ci sono soluzioni.

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18)

Ricordiamo che quando se (poiché il logaritmo cambia il segno con base minore di 1). Dunque dobbiamo risolvere:

3x - 2x^2 \geq 1

Portiamo tutti i termini da un lato:

-2x^2 + 3x - 1 \geq 0

Moltiplichiamo entrambi i membri per (cambiando il segno della disuguaglianza):

2x^2 - 3x + 1 \leq 0

Ora risolviamo questa disuguaglianza trovando le radici del polinomio:

\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1

Le soluzioni sono:

x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 1}{4}

Quindi le radici sono:

x_1 = 1 \quad \text{e} \quad x_2 = \frac{1}{2}

Il segno del polinomio è negativo tra le radici, quindi la soluzione è:

\frac{1}{2} \leq x \leq 1

Infine, dobbiamo anche considerare la condizione di esistenza del logaritmo, cioè . Risolvendo:

x(3 - 2x) > 0

Questo dà le soluzioni . Quindi l'intervallo finale, che soddisfa entrambe le condizioni, è:

\frac{1}{2} \leq x \leq 1

Questa è la soluzione della seconda disuguaglianza.